Упр.29.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\sin^2 x+\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\frac{1}{4}$$;
  б) $$4\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=3-4\sin^2 x$$.

а) Преобразуем произведение косинусов по формуле

$$\cos A\cos B=\frac{\cos(A-B)+\cos(A+B)}{2}.$$

Тогда

$$\sin^2 x+\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)$$

$$=\sin^2 x+\frac{\cos\left(\left(\frac{\pi}{3}-x\right)-\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\right)+\cos\left(\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\right)}{2}$$

$$=\sin^2 x+\frac{\cos(-2x)+\cos\frac{2\pi}{3}}{2}$$

$$=\sin^2 x+\frac{\cos 2x-\frac12}{2}.$$

Так как $$\cos 2x=1-2\sin^2 x,$$ получаем

$$\sin^2 x+\frac{1-2\sin^2 x-\frac12}{2}=\sin^2 x+\frac14-\sin^2 x=\frac14.$$

Следовательно, тождество доказано.

б) Используем формулу произведения синусов:

$$\sin A\sin B=\frac{\cos(A-B)-\cos(A+B)}{2}.$$

Тогда

$$4\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)$$

$$=4\cdot \frac{\cos\left(\left(\frac{\pi}{3}-x\right)-\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\right)-\cos\left(\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\right)}{2}$$

$$=2\left(\cos(-2x)-\cos\frac{2\pi}{3}\right)$$

$$=2\left(\cos 2x+\frac12\right)=2\cos 2x+1.$$

С другой стороны,

$$3-4\sin^2 x=3-2(1-\cos 2x)=1+2\cos 2x.$$

Получаем

$$4\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=3-4\sin^2 x.$$

Тождество доказано.