Упр.29.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите тождество:

а) $$2\sin t\sin 2t+\cos 3t=\cos t$$;

б) $$\sin a-2\sin\left(\frac{a}{2}-15^\circ\right)\cos\left(\frac{a}{2}+15^\circ\right)=\frac{1}{2}$$.

а) Используем формулу произведения в разность:

$$2\sin t\sin 2t=2\cdot \frac{\cos(t-2t)-\cos(t+2t)}{2}=\cos(t-2t)-\cos(t+2t).$$

Тогда

$$2\sin t\sin 2t+\cos 3t=\cos(t-2t)-\cos(t+2t)+\cos 3t.$$

Так как $$\cos(t-2t)=\cos(-t)=\cos t,$$ а $$\cos(t+2t)=\cos 3t,$$ получаем

$$\cos t-\cos 3t+\cos 3t=\cos t.$$

Тождество доказано.

б) Применим формулу произведения в сумму:

$$2\sin\left(\frac a2-15^\circ\right)\cos\left(\frac a2+15^\circ\right)=\sin\left(\left(\frac a2-15^\circ\right)+\left(\frac a2+15^\circ\right)\right)+\sin\left(\left(\frac a2-15^\circ\right)-\left(\frac a2+15^\circ\right)\right).$$

Тогда

$$2\sin\left(\frac a2-15^\circ\right)\cos\left(\frac a2+15^\circ\right)=\sin a+\sin(-30^\circ)=\sin a-\sin 30^\circ.$$

Подставим в левую часть:

$$\sin a-2\sin\left(\frac a2-15^\circ\right)\cos\left(\frac a2+15^\circ\right)=\sin a-(\sin a-\sin 30^\circ)=\sin 30^\circ=\frac12.$$

Тождество доказано.

Ответ: а) $$\cos t$$; б) $$\frac12$$.