Упр.29.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$2\sin(x+y)\cdot \cos y=\sin x$$

Используем формулу суммы синусов:

$$2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B).$$

Тогда

$$2\sin(x+y)\cos y=\sin((x+y)+y)+\sin((x+y)-y)=\sin(x+2y)+\sin x.$$

Получаем уравнение

$$\sin(x+2y)+\sin x=\sin x,$$

откуда

$$\sin(x+2y)=0.$$

Следовательно,

$$x+2y=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Выразим $$y$$:

$$y=-\frac{x}{2}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$2\cos(x+y)\cdot \cos x=\cos y$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$2\cos A\cos B=\cos(A+B)+\cos(A-B).$$

Тогда

$$2\cos(x+y)\cos x=\cos((x+y)+x)+\cos((x+y)-x)=\cos(2x+y)+\cos y.$$

Получаем уравнение

$$\cos(2x+y)+\cos y=\cos y,$$

откуда

$$\cos(2x+y)=0.$$

Следовательно,

$$2x+y=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Выразим $$y$$:

$$y=-2x+\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$y=-\frac{x}{2}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z};$$

б) $$y=-2x+\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$