Упр.29.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Постройте график уравнения:

а) $$2\sin(x+y)\cos y=\sin x$$;

б) $$2\cos(x+y)\cos x=\cos y$$.

Подробный ответ

а) $$2\sin\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)\cos\left(x+\frac{5\pi}{12}\right)$$

Используем формулу произведения в сумму:

$$2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B).$$

Тогда

$$\begin{aligned} y&=2\left|\sin\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)\cos\left(x+\frac{5\pi}{12}\right)\right|\\ &=\left|\sin\left(\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)+\left(x+\frac{5\pi}{12}\right)\right)+\sin\left(\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)-\left(x+\frac{5\pi}{12}\right)\right)\right|\\ &=\left|\sin 2x+\sin\left(-\frac{10\pi}{12}\right)\right|\\ &=\left|\sin 2x-\sin\frac{5\pi}{6}\right|\\ &=\left|\sin 2x-\frac12\right|. \end{aligned}$$

График строим так:

строим график $$y=\sin x$$;
сжимаем его к оси $$Oy$$ в 2 раза, получая $$y=\sin 2x$$;
сдвигаем вниз на $$\frac12$$;
часть графика, лежащую ниже оси $$Ox$$, отражаем относительно оси $$Ox$$.

Итак, искомый график задаётся функцией $$y=\left|\sin 2x-\frac12\right|.$$

б) $$-3\left|\cos\frac{3x+\pi}{6}\cdot\cos\frac{3x-\pi}{6}\right|$$

Применим формулу:

$$2\cos A\cos B=\cos(A+B)+\cos(A-B).$$

Тогда

$$\begin{aligned} y&=-3\left|\cos\frac{3x+\pi}{6}\cdot\cos\frac{3x-\pi}{6}\right|\\ &=-\frac32\left|\cos\left(\frac{3x+\pi}{6}+\frac{3x-\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{3x+\pi}{6}-\frac{3x-\pi}{6}\right)\right|\\ &=-\frac32\left|\cos x+\cos\frac{\pi}{3}\right|\\ &=-\frac32\left|\cos x+\frac12\right|. \end{aligned}$$

График строим так: