Упр.29.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите систему уравнений: а) $$\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}=\frac{1}{2},\quad 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}=\frac{1}{3}$$; б) $$\cos(x+y)\cos(x-y)=\frac{1}{4},\quad \sin(x+y)\sin(x-y)=\frac{3}{4}$$.

Используем формулы приведения произведения тригонометрических функций к сумме.

1. $$\sin\left(\frac{\pi}{8}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}-x\right)<0$$

   $$\frac{\cos\left(\left(\frac{\pi}{8}+x\right)-\left(\frac{\pi}{8}-x\right)\right)-\cos\left(\left(\frac{\pi}{8}+x\right)+\left(\frac{\pi}{8}-x\right)\right)}{2}<0$$

   $$\frac{\cos 2x-\cos \frac{\pi}{4}}{2}<0$$

   $$\cos 2x<\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Равенство при $$\cos 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$, то есть

   $$2x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$-\frac{7\pi}{4}+2\pi n<2x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

   откуда

   $$-\frac{7\pi}{8}+\pi n<x<\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right)\ge 0$$

   $$\frac{\sin\left(\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right)\right)+\sin\left(\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right)\right)}{2}\ge 0$$

   $$\frac{\sin \frac{\pi}{3}+\sin x}{2}\ge 0$$

   $$\sin x\ge -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Равенство при $$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$, то есть

   $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)\cos\left(x+\frac{5\pi}{12}\right)\le 0$$

   $$\frac{\sin\left(\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)+\left(x+\frac{5\pi}{12}\right)\right)+\sin\left(\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)-\left(x+\frac{5\pi}{12}\right)\right)}{2}\le 0$$

   $$\frac{\sin 2x+\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)}{2}\le 0$$

   $$\sin 2x-\frac{1}{2}\le 0,$$

   то есть

   $$\sin 2x\le \frac{1}{2}.$$

   Равенство при $$\sin 2x=\frac{1}{2}$$, значит

   $$2x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le 2x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

   то есть

   $$-\frac{7\pi}{12}+\pi n\le x\le \frac{\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos\frac{3x+\pi}{6}\cdot \cos\frac{3x-\pi}{6}>0$$

   $$\frac{\cos\left(\frac{3x+\pi}{6}+\frac{3x-\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{3x+\pi}{6}-\frac{3x-\pi}{6}\right)}{2}>0$$

   $$\frac{\cos x+\cos \frac{\pi}{3}}{2}>0$$

   $$\cos x+\frac{1}{2}>0,$$

   то есть

   $$\cos x>-\frac{1}{2}.$$

   Равенство при $$\cos x=-\frac{1}{2}$$, значит

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{7\pi}{8}+\pi n<x<\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$

б) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$

в) $$-\frac{7\pi}{12}+\pi n\le x\le \frac{\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$

г) $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$