Упр.29.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$\sin\left(\frac{\pi}{8}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}-x\right)<0$$;

б) $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right)\geqslant 0$$;

в) $$\sin\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)\cos\left(x+\frac{5\pi}{12}\right)\leqslant 0$$;

г) $$\cos\left(\frac{3x+\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{3x-\pi}{6}\right)>0$$.

Пусть числа $$a,\ b,\ c$$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Тогда выполняется условие $$b^2=ac.$$

а)

$$a=\cos 6x,\quad b=\cos 4x,\quad c=\cos 2x.$$

Тогда

$$\cos^2 4x=\cos 6x\cdot \cos 2x.$$

Используем формулу произведения косинусов:

$$\cos 6x\cdot \cos 2x=\frac{\cos(6x+2x)+\cos(6x-2x)}{2}=\frac{\cos 8x+\cos 4x}{2}.$$

Кроме того,

$$\cos^2 4x=\frac{1+\cos 8x}{2}.$$

Получаем уравнение

$$\frac{1+\cos 8x}{2}=\frac{\cos 8x+\cos 4x}{2}.$$

Отсюда

$$1=\cos 4x.$$

Значит,

$$4x=2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б)

$$a=\sin 2x,\quad b=\sin 3x,\quad c=\sin 4x.$$

Тогда

$$\sin^2 3x=\sin 2x\cdot \sin 4x.$$

Используем формулу произведения синусов:

$$\sin 2x\cdot \sin 4x=\frac{\cos(4x-2x)-\cos(4x+2x)}{2}=\frac{\cos 2x-\cos 6x}{2}.$$

А также

$$\sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2}.$$

Тогда

$$\frac{1-\cos 6x}{2}=\frac{\cos 2x-\cos 6x}{2}.$$

Следовательно,

$$1=\cos 2x.$$

Значит,

$$2x=2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z};$$ б) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$