Упр.29.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют геометрическую прогрессию, если:
   а) $$a=\cos 6x$$, $$b=\cos 4x$$, $$c=\cos 2x$$;
   б) $$a=\sin 2x$$, $$b=\sin 3x$$, $$c=\sin 4x$$?

а) Чтобы числа $$a=\cos 6x,$$ $$b=\cos 4x,$$ $$c=\cos 2x$$ образовывали геометрическую прогрессию, должно выполняться условие

$$b^2=ac.$$

Тогда

$$\cos^2 4x=\cos 6x\cdot \cos 2x.$$

Используем формулу

$$\cos 6x\cdot \cos 2x=\frac{\cos 8x+\cos 4x}{2},$$

а также

$$\cos^2 4x=\frac{1+\cos 8x}{2}.$$

Получаем

$$\frac{1+\cos 8x}{2}=\frac{\cos 8x+\cos 4x}{2}.$$

Отсюда

$$1=\cos 4x.$$

Значит,

$$4x=2\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка показывает, что при этих значениях $$x$$ условие геометрической прогрессии выполняется.

б) Для чисел $$a=\sin 2x,$$ $$b=\sin 3x,$$ $$c=\sin 4x$$ имеем

$$b^2=ac,$$ то есть

$$\sin^2 3x=\sin 2x\cdot \sin 4x.$$

По формуле произведения синусов

$$\sin 2x\cdot \sin 4x=\frac{\cos 2x-\cos 6x}{2},$$

а

$$\sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2}.$$

Тогда

$$\frac{1-\cos 6x}{2}=\frac{\cos 2x-\cos 6x}{2}.$$

Следовательно,

$$1=\cos 2x.$$

Отсюда

$$2x=2\pi n,\quad x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При этих значениях $$x$$ условие геометрической прогрессии выполняется.

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$