Упр.29.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корень уравнения:

а) $$\sin x \sin 3x = 0{,}5$$;

б) $$\cos x \cos 3x = 0{,}5$$.

а) Используем формулу произведения в сумму:

$$\sin x\sin 3x=\frac{\cos(3x-x)-\cos(3x+x)}{2}=\frac{\cos 2x-\cos 4x}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\cos 2x-\cos 4x}{2}=\frac12,$$

$$\cos 2x-\cos 4x=1.$$

Положим $$t=\cos 2x.$$ Тогда $$\cos 4x=2t^2-1,$$ и получаем

$$t-(2t^2-1)=1,$$

$$2t^2-t=0,$$

$$t(2t-1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=\frac12.$$

1) Если $$\cos 2x=0,$$ то

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Наименьший положительный корень здесь: $$\frac{\pi}{4}.$$

2) Если $$\cos 2x=\frac12,$$ то

$$2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Наибольший отрицательный корень здесь: $$-\frac{\pi}{6}.$$

Значит, для пункта а):

наименьший положительный корень $$\frac{\pi}{4},$$ наибольший отрицательный корень $$-\frac{\pi}{6}.$$

б) Преобразуем произведение:

$$\cos x\cos 3x=\frac{\cos(3x-x)+\cos(3x+x)}{2}=\frac{\cos 2x+\cos 4x}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\cos 2x+\cos 4x}{2}=\frac12,$$

$$\cos 2x+\cos 4x=1.$$

Пусть $$t=\cos 2x.$$ Тогда $$\cos 4x=2t^2-1,$$ и получаем

$$t+(2t^2-1)=1,$$

$$2t^2+t-2=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+16=17,$$

$$t=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}.$$

Из них подходит только значение, лежащее в промежутке $$[-1;1]$$:

$$\cos 2x=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}.$$

Тогда

$$2x=\pm \arccos\!\left(\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\right)+2\pi n,$$

$$x=\pm \frac12\arccos\!\left(\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно, для пункта б):

наименьший положительный корень $$\frac12\arccos\!\left(\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\right),$$ наибольший отрицательный корень $$-\frac12\arccos\!\left(\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\right).$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{4},\ -\frac{\pi}{6}.$$

б) $$\frac12\arccos\!\left(\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\right),\ -\frac12\arccos\!\left(\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\right).$$