Упр.29.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sin 3x\cos x=\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2}$$; б) $$2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\sin^2x=0$$; в) $$\sin 2x\cos x=\sin x\cos 2x$$; г) $$\cos 2x\cos x=\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2}$$.

а) Преобразуем сумму по формулам приведения:

$$2\sin x\cos 3x+\sin 4x=0$$

$$\sin(x+3x)+\sin(x-3x)+\sin 4x=0$$

$$\sin 4x-\sin 2x+\sin 4x=0$$

$$2\sin 4x-\sin 2x=0$$

$$4\sin 2x\cos 2x-\sin 2x=0$$

$$\sin 2x\,(4\cos 2x-1)=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 4\cos 2x-1=0.$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$4\cos 2x-1=0 \Rightarrow \cos 2x=\frac14.$$

Тогда

$$2x=\pm \arccos\frac14+2\pi n,$$

$$x=\pm \frac12\arccos\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу произведения в сумму:

$$2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\sin 2x=0$$

$$\cos\left(\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)-\cos\left(\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)+\sin 2x=0$$

$$\cos 2x-\cos\frac{\pi}{2}+\sin 2x=0$$

$$\cos 2x+\sin 2x=0.$$

Разделим на $$\cos 2x$$, если $$\cos 2x\neq 0$$:

$$1+\tan 2x=0 \Rightarrow \tan 2x=-1.$$

Но удобнее записать сразу:

$$\sin 2x=-\cos 2x \Rightarrow \tan 2x=-1.$$

Следовательно,

$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

в) Преобразуем левую часть:

$$\sin 2x\cos x=\sin x\cos 2x$$

$$2\sin x\cos x\cos x=\sin x(\cos^2 x-\sin^2 x)$$

$$2\sin x\cos^2 x-\sin x\cos^2 x+\sin^3 x=0$$

$$\sin x(\cos^2 x+\sin^2 x)=0$$

$$\sin x=0.$$

Значит,

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) Используем формулу произведения в сумму:

$$\cos 2x\cos x=\cos 2{,}5x\cos 1{,}5x$$

$$\frac{\cos 3x+\cos x}{2}=\frac{\cos 4x+\cos x}{2}.$$

Тогда

$$\cos 3x=\cos 4x.$$

Отсюда

$$3x=2\pi n\pm 4x,\quad n\in\mathbb Z.$$

Рассмотрим два случая:

$$3x=4x+2\pi n \Rightarrow x=-2\pi n,$$

$$3x=-4x+2\pi n \Rightarrow 7x=2\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{7}.$$

Первое семейство входит во второе при $$n=7k$$, поэтому можно записать ответ так:

$$x=\frac{2\pi n}{7},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \pm \frac12\arccos\frac14+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{2\pi n}{7},\ n\in\mathbb Z.$$