Упр.29.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-0{,}25=0$$;

б) $$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1$$.

а) Применим формулу произведения в сумму:

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\cos\left(2x\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{2}.$$

Так как $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ получаем

$$\frac{\cos 2x-\frac12}{2}-\frac14=0.$$

Умножим на $$4$$:

$$2\cos 2x-1-1=0,$$

$$2\cos 2x=2,$$

$$\cos 2x=1.$$

Тогда

$$2x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу произведения в сумму:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\frac{\pi}{2}}{2}.$$

Так как $$\sin\frac{\pi}{2}=1,$$ имеем

$$\frac{\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+1}{2}=1,$$

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Следовательно,

$$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.