Упр.29.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sin(a+b)\sin(a-b)$$; б) $$\cos(a+b)\cos(a-b)$$; в) $$\cos\left(\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{a}{2}-\frac{b}{2}\right)$$; г) $$2\sin(a+b)\cos(a-b)$$.

Используем формулы произведения тригонометрических функций:

$$\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2},$$

$$\cos x\cos y=\frac{\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2},$$

$$2\sin x\cos y=\sin(x+y)+\sin(x-y).$$

1. $$\sin(a+\beta)\sin(a-\beta)=\frac{\cos\big((a+\beta)-(a-\beta)\big)-\cos\big((a+\beta)+(a-\beta)\big)}{2}$$

   $$=\frac{\cos 2\beta-\cos 2a}{2}.$$

2. $$\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)=\frac{\cos\big((a+\beta)-(a-\beta)\big)+\cos\big((a+\beta)+(a-\beta)\big)}{2}$$

   $$=\frac{\cos 2\beta+\cos 2a}{2}.$$

3. $$\cos\left(\frac a2+\frac\beta2\right)\cos\left(\frac a2-\frac\beta2\right)=\frac{\cos\big(\left(\frac a2+\frac\beta2\right)-\left(\frac a2-\frac\beta2\right)\big)+\cos\big(\left(\frac a2+\frac\beta2\right)+\left(\frac a2-\frac\beta2\right)\big)}{2}$$

   $$=\frac{\cos\beta+\cos a}{2}.$$

4. $$2\sin(a+\beta)\cos(a-\beta)=\sin\big((a+\beta)+(a-\beta)\big)+\sin\big((a+\beta)-(a-\beta)\big)$$

   $$=\sin 2a+\sin 2\beta.$$

Ответ:

а) $$\frac{\cos 2\beta-\cos 2a}{2}$$; б) $$\frac{\cos 2a+\cos 2\beta}{2}$$; в) $$\frac{\cos a+\cos \beta}{2}$$; г) $$\sin 2a+\sin 2\beta$$.