Упр.29.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Зная, что $$\cos x=\frac{3}{4}$$, вычислите $$16\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}$$; б) зная, что $$\cos x=-\frac{3}{5}$$, $$\frac{\pi}{2}

а) Используем формулу произведения в сумму:

$$16\sin \frac{x}{2}\sin \frac{3x}{2}=8\left(\cos \left(\frac{x}{2}-\frac{3x}{2}\right)-\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}\right)\right)=8(\cos x-\cos 2x).$$

Найдём $$\cos 2x$$:

$$\cos 2x=2\cos^2 x-1=2\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2-1=2\cdot \frac{9}{16}-1=\frac{1}{8}.$$

Тогда

$$8(\cos x-\cos 2x)=8\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{8}\right)=8\cdot \frac{5}{8}=5.$$

б) Так как $$\frac{\pi}{2}<x<\pi,$$ то $$\sin x>0.$$ Поэтому

$$\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Найдём $$\sin 2x$$ и $$\sin 3x$$:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{24}{25},$$

$$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x=3\cdot \frac{4}{5}-4\cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3=\frac{12}{5}-\frac{256}{125}=\frac{44}{125}.$$

Используем формулу:

$$125\sin \frac{x}{2}\cos \frac{5x}{2}=125\cdot \frac{\sin 3x-\sin 2x}{2}.$$

Тогда

$$125\sin \frac{x}{2}\cos \frac{5x}{2}=\frac{125}{2}\left(\frac{44}{125}-\left(-\frac{24}{25}\right)\right)=\frac{125}{2}\left(\frac{44}{125}+\frac{120}{125}\right)=\frac{125}{2}\cdot \frac{164}{125}=82.$$

Ответ: а) $$5$$; б) $$82$$.