Упр.29.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите неравенство:

1. а) $$\sin(x+2)\cos(x-2)<\sin(x+3)\cos(x-3)$$; б) $$\cos(2x-3)\cos(2x+3)>\sin(1+2x)\sin(1-2x)$$.

а) Используем формулу произведения в сумму:

$$\sin(x+2)\cos(x-2)=\frac12\bigl(\sin(2x)+\sin 4\bigr),$$

$$\sin(x+3)\cos(x-3)=\frac12\bigl(\sin(2x)+\sin 6\bigr).$$

Тогда нужно доказать, что

$$\frac12\bigl(\sin(2x)+\sin 4\bigr)<\frac12\bigl(\sin(2x)+\sin 6\bigr),$$

то есть достаточно показать, что $$\sin 4<\sin 6.$$

Так как $$\sin 6-\sin 4=2\cos\frac{6+4}{2}\sin\frac{6-4}{2}=2\cos 5\sin 1,$$

а $$1\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right),\quad 5\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right),$$

то $$\sin 1>0$$ и $$\cos 5>0.$$ Следовательно,

$$\sin 6-\sin 4>0,$$

значит, $$\sin 4<\sin 6.$$ Неравенство доказано.

б) Преобразуем произведения в суммы:

$$\cos(2x-3)\cos(2x+3)=\frac12\bigl(\cos 4x+\cos 6\bigr),$$

$$\sin(1+2x)\sin(1-2x)=\frac12\bigl(\cos 4x-\cos 2\bigr).$$

Тогда

$$\cos(2x-3)\cos(2x+3)-\sin(1+2x)\sin(1-2x)=\frac12(\cos 6+\cos 2).$$

Осталось доказать, что $$\cos 6+\cos 2>0.$$ По формуле суммы косинусов:

$$\cos 6+\cos 2=2\cos\frac{6+2}{2}\cos\frac{6-2}{2}=2\cos 4\cos 2.$$

Так как

$$4\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right),\quad 2\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),$$

то $$\cos 4<0$$ и $$\cos 2<0,$$ значит

$$2\cos 4\cos 2>0.$$

Следовательно, $$\cos 6+\cos 2>0,$$ а значит,

$$\cos(2x-3)\cos(2x+3)>\sin(1+2x)\sin(1-2x).$$

Неравенство доказано.