Упр.29.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Сравните числа: а) $$a=\sin 1\cos 2$$, $$b=\sin 3\cos 4$$; б) $$a=-\cos 2\cos 4$$, $$b=-\sin 3{,}5\sin 2{,}5$$.

а) $$a=\sin 1\cdot \cos 2,\qquad b=\sin 3\cdot \cos 4.$$

Используем формулу произведения в сумму:

$$a=\frac{\sin(1+2)+\sin(1-2)}{2}=\frac{\sin 3-\sin 1}{2},$$

$$b=\frac{\sin(3+4)+\sin(3-4)}{2}=\frac{\sin 7-\sin 1}{2}.$$

Тогда

$$a-b=\frac{\sin 3-\sin 1}{2}-\frac{\sin 7-\sin 1}{2} =\frac{\sin 3-\sin 7}{2}.$$

Преобразуем разность синусов:

$$\sin 3-\sin 7=2\cos 5\sin(-2)=-2\cos 5\sin 2,$$

значит

$$a-b=-\cos 5\sin 2.$$

Так как $$2\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),$$ то $$\sin 2>0.$$

Так как $$5\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right),$$ то $$\cos 5>0.$$

Следовательно, $$a-b<0,$$ то есть $$a<b.$$

б) $$a=\cos 2\cdot \cos 4,\qquad b=-\sin 3{,}5\cdot \sin 2{,}5.$$

Преобразуем каждое число:

$$a=\frac{\cos(2+4)+\cos(2-4)}{2}=\frac{\cos 6+\cos 2}{2},$$

$$b=-\frac{\cos(3{,}5-2{,}5)-\cos(3{,}5+2{,}5)}{2} =\frac{\cos 6-\cos 1}{2}.$$

Тогда

$$a-b=\frac{\cos 6+\cos 2}{2}-\frac{\cos 6-\cos 1}{2} =\frac{\cos 1+\cos 2}{2}.$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos 1+\cos 2=2\cos 1{,}5\cos 0{,}5.$$

Значит

$$a-b=\cos 1{,}5\cdot \cos 0{,}5.$$

Так как $$1{,}5\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$ и $$0{,}5\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right),$$ то $$\cos 1{,}5>0$$ и $$\cos 0{,}5>0.$$

Следовательно, $$a-b>0,$$ то есть $$a>b.$$

Ответ: а) $$a<b$$; б) $$a>b$$.