Упр.29.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\cos 10^\circ \cos 30^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ$$; б) $$\sin 10^\circ \sin 30^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ$$.

a) $$\cos 10^\circ \cdot \cos 30^\circ \cdot \cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ$$

Используем формулу $$2\cos A \cos B=\cos(A+B)+\cos(A-B).$$ Тогда

$$\cos 10^\circ \cdot \cos 50^\circ = \frac{\cos 60^\circ+\cos 40^\circ}{2}.$$

Следовательно,

$$\cos 10^\circ \cdot \cos 30^\circ \cdot \cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ = \frac{\cos 30^\circ \cos 70^\circ}{2}\,(\cos 60^\circ+\cos 40^\circ).$$

Так как $$\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60^\circ=\frac12,$$ получаем

$$= \frac{\sqrt{3}}{4}\cos 70^\circ\left(\frac12+\cos 40^\circ\right) = \frac{\sqrt{3}}{8}\left(\cos 70^\circ+\cos 70^\circ\cos 40^\circ\right).$$

Снова применим формулу произведения косинусов:

$$2\cos 70^\circ \cos 40^\circ=\cos 110^\circ+\cos 30^\circ.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt{3}}{8}\left(\cos 70^\circ+\frac{\cos 110^\circ+\cos 30^\circ}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{8}\cdot \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{16}.$$

б) $$\sin 10^\circ \cdot \sin 30^\circ \cdot \sin 50^\circ \cdot \sin 70^\circ$$

Используем формулу $$2\sin A \sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B).$$ Тогда

$$\sin 10^\circ \cdot \sin 50^\circ = \frac{\cos 40^\circ-\cos 60^\circ}{2}.$$

Следовательно,

$$\sin 10^\circ \cdot \sin 30^\circ \cdot \sin 50^\circ \cdot \sin 70^\circ = \frac{\sin 30^\circ \sin 70^\circ}{2}\,(\cos 40^\circ-\cos 60^\circ).$$

Так как $$\sin 30^\circ=\frac12,\quad \cos 60^\circ=\frac12,$$ получаем

$$= \frac14 \sin 70^\circ(\cos 40^\circ-\cos 60^\circ).$$

Применим формулу $$2\sin A \cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B):$$

$$2\sin 70^\circ \cos 40^\circ=\sin 110^\circ+\sin 30^\circ.$$

Тогда

$$\frac14\left(\frac{\sin 110^\circ+\sin 30^\circ}{2}-\frac{\sin 70^\circ}{2}\right) = \frac18\left(\sin 110^\circ+\sin 30^\circ-\sin 70^\circ\right).$$

Но $$\sin 110^\circ=\sin 70^\circ,$$ значит

$$\frac18\sin 30^\circ=\frac18\cdot \frac12=\frac{1}{16}.$$

Ответ: а) $$\frac{3}{16}$$; б) $$\frac{1}{16}$$.