Упр.29.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$2\sin 87^\circ\cos 57^\circ-\sin 36^\circ$$; б) $$2\sin 59^\circ\sin 14^\circ+\sin 163^\circ$$.

а) Используем формулу произведения в сумму:

$$2\sin 87^\circ \cos 57^\circ-\sin 36^\circ = \left(\sin(87^\circ+57^\circ)+\sin(87^\circ-57^\circ)\right)-\sin 36^\circ$$

$$= \sin 144^\circ+\sin 30^\circ-\sin 36^\circ$$

Так как $$\sin 144^\circ=\sin(180^\circ-36^\circ)=\sin 36^\circ,$$ то

$$\sin 144^\circ+\sin 30^\circ-\sin 36^\circ=\sin 30^\circ=\frac12.$$

б) Применим формулу произведения в разность косинусов:

$$2\sin 59^\circ \sin 14^\circ+\sin 163^\circ = \cos(59^\circ-14^\circ)-\cos(59^\circ+14^\circ)+\sin 163^\circ$$

$$= \cos 45^\circ-\cos 73^\circ+\sin 163^\circ.$$

Преобразуем $$\sin 163^\circ$$:

$$\sin 163^\circ=\sin(180^\circ-17^\circ)=\sin 17^\circ,$$

а также $$\cos 73^\circ=\sin 17^\circ.$$ Тогда

$$\cos 45^\circ-\cos 73^\circ+\sin 163^\circ=\cos 45^\circ-\sin 17^\circ+\sin 17^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$\frac{\sqrt2}{2}$$.