Упр.29.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{1}{2}\sin 10^\circ-2\sin 70^\circ$$; б) $$\frac{\operatorname{tg}60^\circ}{\sin 40^\circ}+4\cos 100^\circ$$.

а) $$\frac{1}{2\sin 10^\circ}-2\sin 70^\circ=\frac{1-4\sin 70^\circ\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ}$$

Используем формулу произведения в сумму:

$$4\sin 70^\circ\sin 10^\circ=2\bigl(\cos(70^\circ-10^\circ)-\cos(70^\circ+10^\circ)\bigr)=2(\cos 60^\circ-\cos 80^\circ).$$

Тогда

$$\frac{1-4\sin 70^\circ\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ}=\frac{1-2\cos 60^\circ+2\cos 80^\circ}{2\sin 10^\circ}.$$

Так как $$\cos 60^\circ=\frac12,\quad \cos 80^\circ=\sin 10^\circ,$$ получаем

$$\frac{1-2\cdot \frac12+2\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ}=\frac{2\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ}=1.$$

б) $$\frac{\tg 60^\circ}{\sin 40^\circ}+4\cos 100^\circ=\frac{\sqrt3+4\sin 40^\circ\cos 100^\circ}{\sin 40^\circ}.$$

Применим формулу произведения в сумму:

$$4\sin 40^\circ\cos 100^\circ=2\bigl(\sin(40^\circ+100^\circ)+\sin(40^\circ-100^\circ)\bigr).$$

Тогда

$$\frac{\sqrt3+4\sin 40^\circ\cos 100^\circ}{\sin 40^\circ}=\frac{\sqrt3+2\sin 140^\circ-2\sin 60^\circ}{\sin 40^\circ}.$$

Так как $$\sin 140^\circ=\sin 40^\circ,\quad \sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},$$ имеем

$$\frac{\sqrt3+2\sin 40^\circ-2\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{\sin 40^\circ}=\frac{2\sin 40^\circ}{\sin 40^\circ}=2.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$2$$.