Упр.29.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\cos^2 3^\circ+\cos^2 1^\circ-\cos 4^\circ\cos 2^\circ$$; б) $$\sin^2 10^\circ+\cos 50^\circ\cos 70^\circ$$.

a) Используем формулы:

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}.$$

Тогда

$$\cos^2 3^\circ+\cos^2 1^\circ-\cos 4^\circ \cdot \cos 2^\circ = \frac{1+\cos 6^\circ}{2}+\frac{1+\cos 2^\circ}{2}-\frac{\cos 6^\circ+\cos 2^\circ}{2}.$$

Соберём подобные:

$$\frac{1+\cos 6^\circ+1+\cos 2^\circ-\cos 6^\circ-\cos 2^\circ}{2} = \frac{2}{2}=1.$$

Ответ: $$1$$.

б) Применим формулы:

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}.$$

Тогда

$$\sin^2 10^\circ+\cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ = \frac{1-\cos 20^\circ}{2}+\frac{\cos 120^\circ+\cos 20^\circ}{2}.$$

Так как $$\cos 120^\circ=-\frac12,$$ получаем

$$\frac{1-\cos 20^\circ-\frac12+\cos 20^\circ}{2} = \frac{\frac12}{2} = \frac14.$$

Ответ: $$\frac14$$.