Упр.29.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Преобразуем левую часть:

$$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\cdots+\sin nx= \frac{\sin x\sin \frac{x}{2}+\sin 2x\sin \frac{x}{2}+\cdots+\sin nx\sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$$

Используем формулу произведения в сумму:

$$2\sin kx\sin \frac{x}{2}=\cos\left(k-\frac12\right)x-\cos\left(k+\frac12\right)x.$$

Тогда

$$\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx= \frac{\left(\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}\right)+\left(\cos \frac{3x}{2}-\cos \frac{5x}{2}\right)+\cdots+\left(\cos \frac{(2n-1)x}{2}-\cos \frac{(2n+1)x}{2}\right)}{2\sin \frac{x}{2}}.$$

Сумма в числителе сокращается:

$$\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx= \frac{\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{(2n+1)x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}.$$

По формуле
$$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$$
получаем

$$\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{(2n+1)x}{2} =2\sin \frac{(n+1)x}{2}\sin \frac{nx}{2}.$$

Следовательно,

$$\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx= \frac{\sin \frac{(n+1)x}{2}\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$$

б) Аналогично:

$$\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots+\cos nx= \frac{\sin \frac{x}{2}\cos x+\sin \frac{x}{2}\cos 2x+\cdots+\sin \frac{x}{2}\cos nx}{\sin \frac{x}{2}}.$$

Используем формулу

$$2\sin \frac{x}{2}\cos kx=\sin \left(k+\frac12\right)x-\sin \left(k-\frac12\right)x.$$

Тогда

$$\cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx= \frac{\left(\sin \frac{3x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)+\left(\sin \frac{5x}{2}-\sin \frac{3x}{2}\right)+\cdots+\left(\sin \frac{(2n+1)x}{2}-\sin \frac{(2n-1)x}{2}\right)}{2\sin \frac{x}{2}}.$$

После сокращения получаем

$$\cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx= \frac{\sin \frac{(2n+1)x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}.$$

По формуле
$$\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$$
имеем

$$\sin \frac{(2n+1)x}{2}-\sin \frac{x}{2} =2\cos \frac{(n+1)x}{2}\sin \frac{nx}{2}.$$

Значит,

$$\cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx= \frac{\cos \frac{(n+1)x}{2}\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$$

Ответ

$$\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx=\frac{\sin \frac{(n+1)x}{2}\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}},$$
$$\cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx=\frac{\cos \frac{(n+1)x}{2}\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$$