Упр.29.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\cos^2(45^\circ-a)-\cos^2(60^\circ+a)-\cos 75^\circ\sin(75^\circ-2a)=\sin 2a$$

Используем формулы понижения степени и преобразования произведения в сумму:

$$\cos^2(45^\circ-a)=\frac{1+\cos(90^\circ-2a)}{2}=\frac{1+\sin 2a}{2},$$
$$\cos^2(60^\circ+a)=\frac{1+\cos(120^\circ+2a)}{2} =\frac{1+\cos(90^\circ+(30^\circ+2a))}{2} =\frac{1-\sin(30^\circ+2a)}{2},$$
$$\cos 75^\circ\sin(75^\circ-2a) =\frac{\sin(150^\circ-2a)+\sin(-2a)}{2} =\frac{\sin(150^\circ-2a)-\sin 2a}{2}.$$

Тогда левая часть равенства равна

$$\frac{1+\sin 2a}{2} -\frac{1-\sin(30^\circ+2a)}{2} -\frac{\sin(150^\circ-2a)-\sin 2a}{2}.$$

Упростим:

$$\frac{1+\sin 2a-1+\sin(30^\circ+2a)-\sin(150^\circ-2a)+\sin 2a}{2}.$$

Так как $$\sin(150^\circ-2a)=\sin(30^\circ+2a),$$ получаем

$$\frac{2\sin 2a}{2}=\sin 2a.$$

Следовательно,

$$\cos^2(45^\circ-a)-\cos^2(60^\circ+a)-\cos 75^\circ\sin(75^\circ-2a)=\sin 2a.$$

Ответ: тождество доказано.