Упр.28.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

a) $$\sin t+\sin 2t+\sin 3t+\sin 4t$$; б) $$\cos 2t-\cos 4t-\cos 6t+\cos 8t$$.

Используем формулы:

$$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2},$$

$$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}.$$

Решение

а)

$$\sin t+\sin 2t+\sin 3t+\sin 4t=(\sin t+\sin 4t)+(\sin 2t+\sin 3t).$$

Тогда

$$\sin t+\sin 4t=2\sin \frac{5t}{2}\cos \frac{3t}{2},$$

$$\sin 2t+\sin 3t=2\sin \frac{5t}{2}\cos \frac{t}{2}.$$

Следовательно,

$$\sin t+\sin 2t+\sin 3t+\sin 4t=2\sin \frac{5t}{2}\left(\cos \frac{3t}{2}+\cos \frac{t}{2}\right).$$

Снова применим формулу суммы косинусов:

$$\cos \frac{3t}{2}+\cos \frac{t}{2}=2\cos t\cos \frac{t}{2}.$$

Тогда

$$\sin t+\sin 2t+\sin 3t+\sin 4t=4\cos t\sin \frac{5t}{2}\cos \frac{t}{2}.$$

б)

$$\cos 2t-\cos 4t-\cos 6t+\cos 8t=(\cos 2t+\cos 8t)-(\cos 4t+\cos 6t).$$

По формуле суммы косинусов:

$$\cos 2t+\cos 8t=2\cos 5t\cos 3t,$$

$$\cos 4t+\cos 6t=2\cos 5t\cos t.$$

Тогда

$$\cos 2t-\cos 4t-\cos 6t+\cos 8t=2\cos 5t(\cos 3t-\cos t).$$

Теперь используем формулу разности косинусов:

$$\cos 3t-\cos t=-2\sin 2t\sin t.$$

Следовательно,

$$\cos 2t-\cos 4t-\cos 6t+\cos 8t=-4\cos 5t\sin 2t\sin t.$$

Ответ

а) $$4\cos t\sin \frac{5t}{2}\cos \frac{t}{2}$$

б) $$-4\cos 5t\sin 2t\sin t$$