Упр.28.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\sin 5x+2\sin 6x+\sin 7x$$;
• б) $$2\cos x+\cos 2x+\cos 4x$$.

a) Используем формулу суммы синусов:

$$\sin 5x+\sin 7x=2\sin 6x\cos x.$$

Тогда

$$\sin 5x+2\sin 6x+\sin 7x =2\sin 6x\cos x+2\sin 6x =2\sin 6x(1+\cos x).$$

Применим формулу $$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}$$:

$$2\sin 6x(1+\cos x)=2\sin 6x\cdot 2\cos^2\frac{x}{2} =4\sin 6x\cos^2\frac{x}{2}.$$

б) Сначала сгруппируем крайние слагаемые:

$$\cos 2x+\cos 4x=2\cos 3x\cos x.$$

Тогда

$$2\cos x+\cos 2x+\cos 4x =2\cos x+2\cos 3x\cos x =2\cos x(1+\cos 3x).$$

Используем формулу $$1+\cos 3x=2\cos^2\frac{3x}{2}$$:

$$2\cos x(1+\cos 3x) =2\cos x\cdot 2\cos^2\frac{3x}{2} =4\cos x\cos^2\frac{3x}{2}.$$

Ответ

а) $$4\sin 6x\cos^2\frac{x}{2}$$; б) $$4\cos x\cos^2\frac{3x}{2}$$.