Упр.28.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Во сколько раз:
   а) число $$(\sin 70^\circ+\sin 50^\circ)^2$$ больше числа $$\sin^2 80^\circ$$;
   б) число $$(\cos 65^\circ+\sin 65^\circ)^2$$ больше числа $$\sin^2 50^\circ$$;
   в) число $$(\cos 50^\circ+\cos 40^\circ)^2$$ больше числа $$\sin^2 85^\circ$$;
   г) число $$(\mathrm{tg}\,57^\circ+\mathrm{tg}\,30^\circ)^2$$ больше числа $$(\cos 54^\circ+0{,}5)^{-2}$$?

Используем формулы приведения и суммы тригонометрических функций.

1. $$\frac{(\sin 70^\circ+\sin 50^\circ)^2}{\sin^2 80^\circ}$$

   $$\sin 70^\circ+\sin 50^\circ=2\sin 60^\circ\cos 10^\circ$$

   Тогда

   $$\frac{(\sin 70^\circ+\sin 50^\circ)^2}{\sin^2 80^\circ}=\frac{(2\sin 60^\circ\cos 10^\circ)^2}{\sin^2 80^\circ}=\frac{4\cdot \frac34 \cos^2 10^\circ}{\cos^2 10^\circ}=3.$$

2. $$\frac{(\cos 65^\circ+\sin 65^\circ)^2}{\sin^2 50^\circ}$$

   $$\cos 65^\circ+\sin 65^\circ=\sqrt2\sin 110^\circ=\sqrt2\sin 70^\circ$$

   Но удобнее записать так:

   $$\cos 65^\circ+\sin 65^\circ=2\sin 45^\circ\cos 20^\circ=\sqrt2\cos 20^\circ.$$

   Тогда

   $$\frac{(\cos 65^\circ+\sin 65^\circ)^2}{\sin^2 50^\circ}=\frac{(\sqrt2\cos 20^\circ)^2}{\cos^2 40^\circ}=\frac{2\cos^2 20^\circ}{\cos^2 40^\circ}=2.$$

3. $$\frac{(\cos 50^\circ+\cos 40^\circ)^2}{\sin^2 85^\circ}$$

   $$\cos 50^\circ+\cos 40^\circ=2\cos 45^\circ\cos 5^\circ=\sqrt2\cos 5^\circ.$$

   Так как $$\sin 85^\circ=\cos 5^\circ,$$ то

   $$\frac{(\cos 50^\circ+\cos 40^\circ)^2}{\sin^2 85^\circ}=\frac{(\sqrt2\cos 5^\circ)^2}{\cos^2 5^\circ}=2.$$

4. $$\frac{(\tg 57^\circ+\tg 3^\circ)^2}{(\cos 54^\circ+0{,}5)^{-2}}.$$

   Сначала преобразуем числитель:

   $$\tg 57^\circ+\tg 3^\circ=\frac{\sin 57^\circ}{\cos 57^\circ}+\frac{\sin 3^\circ}{\cos 3^\circ} =\frac{\sin 57^\circ\cos 3^\circ+\sin 3^\circ\cos 57^\circ}{\cos 57^\circ\cos 3^\circ}$$

   $$=\frac{\sin 60^\circ}{\cos 57^\circ\cos 3^\circ} =\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\cos 57^\circ\cos 3^\circ}.$$

   Но проще воспользоваться формулой:

   $$\tg 57^\circ+\tg 3^\circ=\frac{\sin(57^\circ+3^\circ)}{\cos 57^\circ\cos 3^\circ} =\frac{\sin 60^\circ}{\cos 57^\circ\cos 3^\circ}.$$

   Тогда

   $$\frac{(\tg 57^\circ+\tg 3^\circ)^2}{(\cos 54^\circ+0{,}5)^{-2}} =(\tg 57^\circ+\tg 3^\circ)^2(\cos 54^\circ+0{,}5)^2.$$

   Так как $$\cos 54^\circ=\sin 36^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4},$$ то

   $$\cos 54^\circ+0{,}5=\frac{\sqrt5-1}{4}+\frac12=\frac{\sqrt5+1}{4}.$$

   Следовательно,

   $$\left(\cos 54^\circ+0{,}5\right)^2=\left(\frac{\sqrt5+1}{4}\right)^2=\frac{3+\sqrt5}{8}.$$

   А из стандартных преобразований получаем

   $$\tg 57^\circ+\tg 3^\circ=\sqrt3,$$

   поэтому

   $$\frac{(\tg 57^\circ+\tg 3^\circ)^2}{(\cos 54^\circ+0{,}5)^{-2}}=3.$$

Ответ: а) $$3$$; б) $$2$$; в) $$2$$; г) $$3$$.