Упр.28.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)<1$$;

б) $$\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)>-\frac{1}{2}$$.

а) Используем формулу суммы синусов:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=2\sin x\cos\frac{\pi}{4}.$$

Тогда

$$2\sin x\cdot \frac{\sqrt2}{2}<1,$$

$$\sin x<\frac{\sqrt2}{2}.$$

Равенство $$\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$$ выполняется при

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x\in\left(-\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=2\cos 2x\cos\frac{\pi}{3}.$$

Тогда

$$2\cos 2x\cdot \frac12>-\frac12,$$

$$\cos 2x>-\frac12.$$

Равенство $$\cos 2x=-\frac12$$ выполняется при

$$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+\pi n,\frac{\pi}{3}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+\pi n,\frac{\pi}{3}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$