Упр.28.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

При каких значениях $$x$$ числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, если:
а) $$a=\cos 7x$$, $$b=\cos 2x$$, $$c=\cos 11x$$;
б) $$a=\sin 3x$$, $$b=\cos x$$, $$c=\sin 5x$$?

Подробный ответ

Чтобы числа $$a,b,c$$ были тремя последовательными членами арифметической прогрессии, должно выполняться условие

$$2b=a+c.$$

а)

$$a=\cos 7x,\quad b=\cos 2x,\quad c=\cos 11x.$$

Тогда

$$2\cos 2x=\cos 7x+\cos 11x.$$

По формуле суммы косинусов:

$$\cos 7x+\cos 11x=2\cos 9x\cos 2x.$$

Получаем

$$2\cos 2x=2\cos 9x\cos 2x,$$

$$\cos 2x\,(1-\cos 9x)=0.$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0,$$ тогда $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$ значит $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
$$1-\cos 9x=0,$$ то есть $$\cos 9x=1,$$ значит $$9x=2\pi n,$$ откуда $$x=\frac{2\pi n}{9}.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\quad \text{или}\quad x=\frac{2\pi n}{9},\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$a=\sin 3x,\quad b=\cos x,\quad c=\sin 5x.$$

Тогда

$$2\cos x=\sin 3x+\sin 5x.$$

По формуле суммы синусов:

$$\sin 3x+\sin 5x=2\sin 4x\cos x.$$

Получаем

$$2\cos x=2\sin 4x\cos x,$$

$$\cos x\,(1-\sin 4x)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0,$$ значит $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
$$1-\sin 4x=0,$$ то есть $$\sin 4x=1,$$ значит $$4x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$ откуда $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n\quad \text{или}\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$