Упр.28.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку $$(0; 2{,}5)$$:

а) $$\cos 6x+\cos 8x=\cos 10x+\cos 12x$$;

б) $$\sin 2x+5\sin 4x+\sin 6x=0$$.

а) Преобразуем левую и правую части по формулам суммы в произведение:

$$\cos 6x+\cos 8x-\cos 10x-\cos 12x=0$$

$$(\cos 6x+\cos 8x)-(\cos 10x+\cos 12x)=0$$

$$2\cos 7x\cos x-2\cos 11x\cos x=0$$

$$2\cos x(\cos 7x-\cos 11x)=0$$

$$2\cos x\cdot 2\sin 9x\sin 2x=0$$

$$\cos x\sin 9x\sin 2x=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin 9x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$

На промежутке $$\left(0;\,2{,}5\right)$$ получаем:

$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2};$$

$$\sin 9x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{9}, \quad n=1,2,\dots,7;$$

$$\sin 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \quad n=1.$$

Итак, корни на данном промежутке:

$$x=\frac{\pi}{9},\ \frac{2\pi}{9},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{4\pi}{9},\ \frac{5\pi}{9},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{7\pi}{9},\ \frac{3\pi}{2}.$$

б) Преобразуем выражение:

$$\sin 2x+5\sin 4x+\sin 6x=0$$

$$(\sin 2x+\sin 6x)+5\sin 4x=0$$

$$2\sin 4x\cos 2x+5\sin 4x=0$$

$$\sin 4x(2\cos 2x+5)=0$$

Следовательно,

$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x+5=0.$$

Но уравнение $$2\cos 2x+5=0$$ не имеет корней, так как $$\cos 2x\in[-1;1]$$, а значит $$2\cos 2x+5\neq 0$$.

Остаётся:

$$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4}.$$

На промежутке $$\left(0;\,2{,}5\right)$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{9},\ \frac{2\pi}{9},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{4\pi}{9},\ \frac{5\pi}{9},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{7\pi}{9},\ \frac{3\pi}{2}$$;

б) $$\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4}$$.