Упр.28.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке $$[0;\frac{\pi}{2}]$$:
а) $$\sin 2x+\sin 6x=\cos 2x$$;
б) $$2\cos^2 x-1=\sin 3x$$?
а) Преобразуем левую часть:
$$\sin 2x+\sin 6x=2\sin 4x\cos 2x$$
Тогда уравнение принимает вид
$$2\sin 4x\cos 2x-\cos 2x=0$$
$$\cos 2x\,(2\sin 4x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos 2x=0$$
или
$$2\sin 4x-1=0$$
1) $$\cos 2x=0$$, тогда
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем:
$$x=\frac{\pi}{4}$$
2) $$2\sin 4x-1=0$$, то есть
$$\sin 4x=\frac12$$
$$4x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 4x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}$$
или
$$x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем корни:
$$x=\frac{\pi}{24},\ \frac{5\pi}{24}$$
Итак, всего на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ уравнение имеет 3 корня.
б) Используем формулу $$2\cos^2 x-1=\cos 2x$$:
$$\cos 2x=\sin 3x$$
$$\sin 3x-\cos 2x=0$$
Представим $$\cos 2x$$ как синус:
$$\cos 2x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)$$
Тогда
$$\sin 3x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0$$
По формуле разности синусов:
$$2\cos\frac{3x+\frac{\pi}{2}-2x}{2}\sin\frac{3x-\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}=0$$
$$2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
Отсюда:
$$\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
или
$$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0$$
1) $$\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$, значит
$$\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем:
$$x=\frac{\pi}{10},\ \frac{\pi}{2}$$
2) $$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0$$, значит
$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем:
$$x=\frac{\pi}{2}$$
Итак, различных корней на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ — 2.
Ответ: а) 3; б) 2.
