Упр.28.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sin x+\sin 3x+\cos x+\cos 3x=0$$;
2. б) $$\sin 5x+\sin x+2\sin^2 x=1$$.

а) $$\sin x+\sin 3x+\cos x+\cos 3x=0$$

Используем формулы суммы в произведение:

$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x,$$

$$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x.$$

Тогда

$$2\sin 2x\cos x+2\cos 2x\cos x=0,$$

$$2\cos x(\sin 2x+\cos 2x)=0.$$

Отсюда:

1. $$\cos x=0,$$ тогда $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$\sin 2x+\cos 2x=0,$$ тогда $$\tg 2x=-1,$$ значит
   $$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin 5x+\sin x+2\sin^2 x=1$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin 5x+\sin x=2\sin 3x\cos 2x,$$

$$2\sin^2 x=1-\cos 2x.$$

Тогда

$$2\sin 3x\cos 2x+1-\cos 2x=1,$$

$$2\sin 3x\cos 2x-\cos 2x=0,$$

$$\cos 2x(2\sin 3x-1)=0.$$

Отсюда:

1. $$\cos 2x=0,$$ тогда
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$2\sin 3x-1=0,$$ то есть
   $$\sin 3x=\frac12.$$
   Тогда
   $$3x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; -\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$ б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; (-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$