Упр.28.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\operatorname{tg} x+\operatorname{tg} 5x=0$$; б) $$\operatorname{tg} 3x=\operatorname{ctg} x$$; в) $$\operatorname{tg} 2x=\operatorname{tg} 4x$$; г) $$\operatorname{ctg}\frac{x}{2}+\operatorname{ctg}\frac{3x}{2}=0$$.
а) $$\tg x+\tg 5x=0$$
$$\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin 5x}{\cos 5x}=0$$
$$\frac{\sin x\cos 5x+\sin 5x\cos x}{\cos x\cos 5x}=0$$
$$\frac{\sin(x+5x)}{\cos x\cos 5x}=0$$
$$\sin 6x=0$$
$$6x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверим область допустимых значений:
$$\cos x\ne 0,\qquad \cos 5x\ne 0.$$
При $$x=\frac{\pi n}{6}$$ получаем исключения, когда $$\cos x=0$$, то есть при $$n=3+6k$$, $$k\in\mathbb Z$$. Эти значения нужно отбросить.
Ответ: $$x=\frac{\pi n}{6},\ n\ne 6k+3,\ k\in\mathbb Z.$$
б) $$\tg 3x=\ctg x$$
$$\ctg x-\tg 3x=0$$
$$\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin 3x}{\cos 3x}=0$$
$$\frac{\cos x\cos 3x-\sin x\sin 3x}{\sin x\cos 3x}=0$$
$$\frac{\cos(x+3x)}{\sin x\cos 3x}=0$$
$$\cos 4x=0$$
$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверка ОДЗ:
$$\sin x\ne 0,\qquad \cos 3x\ne 0.$$
Полученные значения этим ограничениям не противоречат.
Ответ: $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$\tg 2x=\tg 4x$$
$$\tg 4x-\tg 2x=0$$
$$\frac{\sin 4x}{\cos 4x}-\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=0$$
$$\frac{\sin 4x\cos 2x-\sin 2x\cos 4x}{\cos 2x\cos 4x}=0$$
$$\frac{\sin(4x-2x)}{\cos 2x\cos 4x}=0$$
$$\sin 2x=0$$
$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверка ОДЗ: $$\cos 4x\ne 0.$$ При $$x=\frac{\pi n}{2}$$ это условие выполняется.
Ответ: $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$\ctg \frac{x}{2}+\ctg \frac{3x}{2}=0$$
$$\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}+\frac{\cos \frac{3x}{2}}{\sin \frac{3x}{2}}=0$$
$$\frac{\cos \frac{x}{2}\sin \frac{3x}{2}+\cos \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}\sin \frac{3x}{2}}=0$$
$$\frac{\sin 2x}{\sin \frac{x}{2}\sin \frac{3x}{2}}=0$$
$$\sin 2x=0$$
$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверка ОДЗ:
$$\sin \frac{x}{2}\ne 0,\qquad \sin \frac{3x}{2}\ne 0.$$
Из найденных корней не подходят $$x=\pi n$$ и $$x=\frac{2\pi n}{3}$$, поэтому остаются только значения
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
