Упр.28.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$1+\cos 6x=2\sin^2 5x$$; б) $$\cos^2 2x=\cos^2 4x$$; в) $$\sin^2\frac{x}{2}=\cos^2\frac{7x}{2}$$; г) $$\sin^2 x+\sin^2 3x=1$$.

a) Преобразуем правую часть:

$$2\sin^2 5x=1-\cos 10x.$$

Тогда

$$1+\cos 6x=1-\cos 10x,$$

$$\cos 6x+\cos 10x=0,$$

$$2\cos 8x\cdot \cos 2x=0.$$

Отсюда

$$\cos 8x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0.$$

1) $$8x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8}.$$

2) $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8},\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}.$$

б) Используем формулу $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}.$$ Тогда

$$\cos^2 2x=\cos^2 4x$$

$$\frac{1+\cos 4x}{2}=\frac{1+\cos 8x}{2},$$

$$\cos 4x-\cos 8x=0,$$

$$-2\sin 6x\cdot \sin(-2x)=0,$$

$$\sin 6x\cdot \sin 2x=0.$$

Следовательно,

$$\sin 6x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$

1) $$6x=\pi n,$$

$$x=\frac{\pi n}{6}.$$

2) $$2x=\pi n,$$

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

Но множество решений $$x=\frac{\pi n}{2}$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{6}$$, поэтому

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{6},\ n\in\mathbb{Z}.$$

в) Преобразуем левую и правую части:

$$\sin^2 \frac{x}{2}=\cos^2 \frac{7x}{2}$$

$$\frac{1-\cos x}{2}=\frac{1+\cos 7x}{2},$$

$$-\cos x-\cos 7x=0,$$

$$\cos x+\cos 7x=0,$$

$$2\cos 4x\cdot \cos 3x=0.$$

Отсюда

$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0.$$

1) $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$

2) $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}.$$

г) Используем формулы понижения степени:

$$\sin^2 x+\sin^2 3x=1$$

$$\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 6x}{2}=1,$$

$$\cos 2x+\cos 6x=0,$$

$$2\cos 4x\cdot \cos 2x=0.$$

Следовательно,

$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0.$$

1) $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$

2) $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}.$$