Упр.28.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\cos x+\cos 3x=0$$;
б) $$\sin 12x+\sin 4x=0$$;
в) $$\cos x=\cos 5x$$;
г) $$\sin 3x=\sin 17x$$.

а) $$\cos x+\cos 3x=0$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$2\cos 2x\cdot \cos x=0.$$

Отсюда

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin 12x+\sin 4x=0$$

Применим формулу суммы синусов:

$$2\sin 8x\cdot \cos 4x=0.$$

Следовательно,

$$\sin 8x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$

1) $$\sin 8x=0 \Rightarrow 8x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{8}.$$

2) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{8},\; \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z.$$

в) $$\cos x=\cos 5x$$

Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности косинусов:

$$\cos x-\cos 5x=0,$$

$$-2\sin 3x\cdot \sin(-2x)=0,$$

$$2\sin 3x\cdot \sin 2x=0.$$

Отсюда

$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$

1) $$\sin 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{3}.$$

2) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{3},\; \frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin 3x=\sin 17x$$

Перенесём в одну сторону и применим формулу разности синусов:

$$\sin 3x-\sin 17x=0,$$

$$2\sin(-7x)\cdot \cos 10x=0,$$

$$\sin 7x\cdot \cos 10x=0.$$

Значит,

$$\sin 7x=0 \quad \text{или} \quad \cos 10x=0.$$

1) $$\sin 7x=0 \Rightarrow 7x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{7}.$$

2) $$\cos 10x=0 \Rightarrow 10x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{10}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{7},\; \frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{10},\; n\in\mathbb Z.$$