Упр.28.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите: а) если $$2\sin x=\sin(x+2y)$$, то $$\tg(x+y)=3\tg y$$; б) если $$2\cos x=\cos(x+2y)$$, то $$\ctg(x+y)-2\tg x=\tg x+\ctg y$$.

а) Из условия $$2\sin x=\sin(x+2y)$$ получаем

$$\sin x=\sin(x+2y)-\sin x.$$

По формуле разности синусов:

$$\sin(x+2y)-\sin x=2\sin y\cos(x+y),$$

значит,

$$\sin x=2\sin y\cos(x+y).$$

Теперь рассмотрим разность:

$$\tg(x+y)-3\tg y=\tg(x+y)-\tg y-2\tg y.$$

Преобразуем первые два слагаемых:

$$\tg(x+y)-\tg y=\frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)}-\frac{\sin y}{\cos y}$$

$$=\frac{\sin(x+y)\cos y-\sin y\cos(x+y)}{\cos(x+y)\cos y}$$

$$=\frac{\sin\bigl((x+y)-y\bigr)}{\cos(x+y)\cos y}=\frac{\sin x}{\cos(x+y)\cos y}.$$

Тогда

$$\tg(x+y)-3\tg y=\frac{\sin x}{\cos(x+y)\cos y}-2\tg y.$$

Подставим $$\sin x=2\sin y\cos(x+y)$$:

$$\tg(x+y)-3\tg y=\frac{2\sin y\cos(x+y)}{\cos(x+y)\cos y}-2\tg y=2\tg y-2\tg y=0.$$

Следовательно,

$$\tg(x+y)=3\tg y.$$

б) Из условия $$2\cos x=\cos(x+2y)$$ получаем

$$\cos x=\cos(x+2y)-\cos x.$$

По формуле разности косинусов:

$$\cos(x+2y)-\cos x=-2\sin(x+y)\sin y,$$

значит,

$$\cos x=-2\sin(x+y)\sin y,$$

или

$$\sin(x+y)\sin y=-\frac12\cos x.$$

Докажем равенство:

$$\ctg(x+y)-2\tg x=\tg x+\ctg y.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\ctg(x+y)-\tg x-\ctg y-2\tg x=0,$$

то есть

$$\ctg(x+y)-\ctg y-3\tg x=0.$$

Преобразуем разность котангенсов:

$$\ctg(x+y)-\ctg y=\frac{\cos(x+y)}{\sin(x+y)}-\frac{\cos y}{\sin y}$$

$$=\frac{\cos(x+y)\sin y-\cos y\sin(x+y)}{\sin(x+y)\sin y}$$

$$=\frac{\sin\bigl(y-(x+y)\bigr)}{\sin(x+y)\sin y}=\frac{-\sin x}{\sin(x+y)\sin y}.$$

Тогда

$$\ctg(x+y)-\ctg y-3\tg x=\frac{-\sin x}{\sin(x+y)\sin y}-3\tg x.$$

Используем найденное из условия:

$$\sin(x+y)\sin y=-\frac12\cos x.$$

Тогда

$$\frac{-\sin x}{\sin(x+y)\sin y}=\frac{-\sin x}{-\frac12\cos x}=2\tg x.$$

Следовательно,

$$\ctg(x+y)-\ctg y-3\tg x=2\tg x-3\tg x=-\tg x,$$

и исходное равенство в таком виде не выполняется. Значит, в условии, вероятно, допущена опечатка.

Ответ

а) $$\tg(x+y)=3\tg y.$$
б) при данном условии равенство не выполняется; в условии, вероятно, опечатка.