Упр.28.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Зная, что $$\sin 2x+\sin 2y=a$$, $$\cos 2x+\cos 2y=b$$ ($$a\ne0$$, $$b\ne0$$), вычислите $$\operatorname{tg}(x+y)$$; б) зная, что $$\sin x-\sin y=a$$, $$\cos x-\cos y=b$$ ($$a\ne0$$, $$b\ne0$$), вычислите $$\operatorname{ctg}\frac{x+y}{2}$$.

Используем формулы приведения суммы тригонометрических функций к произведению.

а)

$$\sin 2x+\sin 2y=2\sin(x+y)\cos(x-y)=a,$$

$$\cos 2x+\cos 2y=2\cos(x+y)\cos(x-y)=b.$$

Делим первое равенство на второе:

$$\frac{2\sin(x+y)\cos(x-y)}{2\cos(x+y)\cos(x-y)}=\frac{a}{b}.$$

Так как $$b\ne 0,$$ получаем

$$\tg(x+y)=\frac{a}{b}.$$

б)

$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}=a,$$

$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}=b.$$

Делим первое равенство на второе:

$$\frac{2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}}{-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}}=\frac{a}{b}.$$

Так как $$b\ne 0,$$ получаем

$$-\ctg\frac{x+y}{2}=\frac{a}{b},$$

откуда

$$\ctg\frac{x+y}{2}=-\frac{a}{b}.$$

Ответ

а) $$\tg(x+y)=\frac{a}{b}$$; б) $$\ctg\frac{x+y}{2}=-\frac{a}{b}$$.