Упр.28.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что если $$\alpha+\beta+\gamma=\pi$$, то выполняется равенство:
   а) $$\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma$$;
   б) $$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$$.

Пусть $$\alpha+\beta+\gamma=\pi.$$ Тогда $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta).$$

а)

Преобразуем левую часть:

$$\begin{aligned} \tg \alpha+\tg \beta+\tg \gamma &=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\sin \beta}{\cos \beta}+\tg\bigl(\pi-(\alpha+\beta)\bigr) \\ &=\frac{\sin \alpha\cos \beta+\sin \beta\cos \alpha}{\cos \alpha\cos \beta}-\tg(\alpha+\beta) \\ &=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos \alpha\cos \beta}-\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} \\ &=\frac{\sin(\alpha+\beta)\bigl(\cos(\alpha+\beta)-\cos \alpha\cos \beta\bigr)}{\cos \alpha\cos \beta\cos(\alpha+\beta)}. \end{aligned}$$

Так как $$\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha\cos \beta-\sin \alpha\sin \beta,$$ то

$$\begin{aligned} \tg \alpha+\tg \beta+\tg \gamma &=\frac{\sin(\alpha+\beta)\cdot(-\sin \alpha\sin \beta)}{\cos \alpha\cos \beta\cos(\alpha+\beta)} \\ &=\frac{\sin \alpha\sin \beta\sin \gamma}{\cos \alpha\cos \beta\cos \gamma} \\ &=\tg \alpha\cdot \tg \beta\cdot \tg \gamma. \end{aligned}$$

Следовательно, $$\tg \alpha+\tg \beta+\tg \gamma=\tg \alpha\cdot \tg \beta\cdot \tg \gamma.$$

б)

Преобразуем сумму:

$$\begin{aligned} \sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma &=\sin \alpha+\sin \beta+\sin\bigl(\pi-(\alpha+\beta)\bigr) \\ &=\sin \alpha+\sin \beta+\sin(\alpha+\beta). \end{aligned}$$

Используем формулы приведения к произведению:

$$\begin{aligned} \sin \alpha+\sin \beta &=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}, \\ \sin(\alpha+\beta) &=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}. \end{aligned}$$

Тогда

$$\begin{aligned} \sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma &=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right). \end{aligned}$$

По формуле $$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$ получаем:

$$\begin{aligned} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\cos\frac{\alpha+\beta}{2} &=2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}. \end{aligned}$$

Значит,

$$\begin{aligned} \sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma &=4\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}. \end{aligned}$$

Так как $$\alpha+\beta=\pi-\gamma,$$ то

$$\sin\frac{\alpha+\beta}{2}=\sin\frac{\pi-\gamma}{2}=\cos\frac{\gamma}{2}.$$

Следовательно,

$$\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma =4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.$$

Ответ: $$\tg \alpha+\tg \beta+\tg \gamma=\tg \alpha\cdot \tg \beta\cdot \tg \gamma,$$ $$\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.$$