Упр.28.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sin 47^\circ+\sin 61^\circ-\sin 11^\circ-\sin 25^\circ=\cos 7^\circ$$; б) $$\operatorname{tg}55^\circ-\operatorname{tg}35^\circ=2\operatorname{tg}20^\circ$$.

а)

$$\sin 47^\circ+\sin 61^\circ-\sin 11^\circ-\sin 25^\circ$$
$$=(\sin 47^\circ+\sin 61^\circ)-(\sin 11^\circ+\sin 25^\circ)$$
$$=2\sin 54^\circ\cos 7^\circ-2\sin 18^\circ\cos 7^\circ$$
$$=2\cos 7^\circ(\sin 54^\circ-\sin 18^\circ)$$
$$=2\cos 7^\circ\cdot 2\cos 36^\circ\sin 18^\circ$$
$$=4\sin 18^\circ\cos 36^\circ\cos 7^\circ.$$

Так как $$4\sin 18^\circ\cos 36^\circ=1,$$ то
$$\sin 47^\circ+\sin 61^\circ-\sin 11^\circ-\sin 25^\circ=\cos 7^\circ.$$

Равенство верно.

б)

$$\tg 55^\circ-\tg 35^\circ=\frac{\sin 55^\circ}{\cos 55^\circ}-\frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ}$$
$$=\frac{\sin 55^\circ\cos 35^\circ-\sin 35^\circ\cos 55^\circ}{\cos 55^\circ\cos 35^\circ}$$
$$=\frac{\sin(55^\circ-35^\circ)}{\cos 55^\circ\cos 35^\circ} =\frac{\sin 20^\circ}{\cos 55^\circ\cos 35^\circ}.$$

Так как $$\cos 55^\circ=\sin 35^\circ,$$ то
$$\tg 55^\circ-\tg 35^\circ=\frac{\sin 20^\circ}{\sin 35^\circ\cos 35^\circ}.$$

Используем формулу $$2\sin 35^\circ\cos 35^\circ=\sin 70^\circ,$$ тогда
$$\tg 55^\circ-\tg 35^\circ=\frac{2\sin 20^\circ}{\sin 70^\circ}.$$

Но $$\sin 70^\circ=\cos 20^\circ,$$ значит
$$\tg 55^\circ-\tg 35^\circ=\frac{2\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}=2\tg 20^\circ.$$

Равенство верно.

Ответ: а) верно; б) верно.