Упр.28.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\sin 87^\circ-\sin 59^\circ-\sin 93^\circ+\sin 61^\circ=\sin 1^\circ$$;
- б) $$\cos 115^\circ-\cos 35^\circ+\cos 65^\circ+\cos 25^\circ=\sin 5^\circ$$.
Проверим равенства, используя формулы:
$$\sin \alpha-\sin \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2},$$
$$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2},$$
$$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}.$$
а)
$$\sin 87^\circ-\sin 59^\circ-\sin 93^\circ+\sin 61^\circ = (\sin 61^\circ-\sin 59^\circ)-(\sin 93^\circ-\sin 87^\circ).$$
Тогда
$$\sin 61^\circ-\sin 59^\circ =2\cos 60^\circ \sin 1^\circ =2\cdot \frac12 \sin 1^\circ =\sin 1^\circ,$$
$$\sin 93^\circ-\sin 87^\circ =2\cos 90^\circ \sin 3^\circ =0.$$
Следовательно,
$$\sin 87^\circ-\sin 59^\circ-\sin 93^\circ+\sin 61^\circ=\sin 1^\circ.$$
б)
$$\cos 115^\circ-\cos 35^\circ+\cos 65^\circ+\cos 25^\circ =(\cos 25^\circ-\cos 35^\circ)+(\cos 115^\circ+\cos 65^\circ).$$
Имеем
$$\cos 25^\circ-\cos 35^\circ =-2\sin 30^\circ \sin(-5^\circ) =2\sin 30^\circ \sin 5^\circ =\sin 5^\circ,$$
$$\cos 115^\circ+\cos 65^\circ =2\cos 90^\circ \cos 25^\circ =0.$$
Значит,
$$\cos 115^\circ-\cos 35^\circ+\cos 65^\circ+\cos 25^\circ=\sin 5^\circ.$$
Ответ: а) верно; б) верно.
