Упр.28.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\cos 24^\circ+\cos 48^\circ-\cos 84^\circ-\cos 12^\circ$$; б) $$\operatorname{tg}9^\circ-\operatorname{tg}63^\circ+\operatorname{tg}81^\circ-\operatorname{tg}27^\circ$$.

a) $$\cos 24^\circ+\cos 48^\circ-\cos 84^\circ-\cos 12^\circ$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\left(\cos 48^\circ+\cos 24^\circ\right)-\left(\cos 84^\circ+\cos 12^\circ\right)$$

Применим формулу суммы косинусов:

$$2\cos 36^\circ\cos 12^\circ-2\cos 48^\circ\cos 36^\circ$$

$$=2\cos 36^\circ\left(\cos 12^\circ-\cos 48^\circ\right)$$

Используем формулу разности косинусов:

$$\cos 12^\circ-\cos 48^\circ=-2\sin 30^\circ\sin(-18^\circ)=2\sin 30^\circ\sin 18^\circ$$

Тогда

$$2\cos 36^\circ\cdot 2\sin 30^\circ\sin 18^\circ=2\cos 36^\circ\sin 18^\circ$$

Так как $$\sin 36^\circ=2\sin 18^\circ\cos 18^\circ,$$ то

$$2\cos 36^\circ\sin 18^\circ=\frac{\sin 36^\circ\cos 36^\circ}{\cos 18^\circ}=\frac{\sin 72^\circ}{2\cos 18^\circ}=\frac12.$$

б) $$\tg 9^\circ-\tg 63^\circ+\tg 81^\circ-\tg 27^\circ$$

Сгруппируем:

$$\left(\tg 9^\circ+\tg 81^\circ\right)-\left(\tg 63^\circ+\tg 27^\circ\right)$$

Используем формулу $$\tg \alpha+\tg \beta=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$$:

$$\frac{\sin 90^\circ}{\cos 9^\circ\cos 81^\circ}-\frac{\sin 90^\circ}{\cos 63^\circ\cos 27^\circ}$$

$$=\frac{1}{\cos 9^\circ\sin 9^\circ}-\frac{1}{\sin 27^\circ\cos 27^\circ}$$

Так как $$\cos 9^\circ=\sin 81^\circ,$$ $$\cos 63^\circ=\sin 27^\circ,$$ получаем

$$\frac{1}{\sin 9^\circ\cos 9^\circ}-\frac{1}{\sin 27^\circ\cos 27^\circ}$$

$$=\frac{2}{\sin 18^\circ}-\frac{2}{\sin 54^\circ}$$

$$=\frac{2(\sin 54^\circ-\sin 18^\circ)}{\sin 18^\circ\sin 54^\circ}$$

По формуле разности синусов:

$$\sin 54^\circ-\sin 18^\circ=2\cos 36^\circ\sin 18^\circ$$

Тогда

$$\frac{2\cdot 2\cos 36^\circ\sin 18^\circ}{\sin 18^\circ\sin 54^\circ}=\frac{4\cos 36^\circ}{\sin 54^\circ}=4,$$

так как $$\sin 54^\circ=\cos 36^\circ.$$

Ответ

a) $$\frac12$$; б) $$4$$.