Упр.28.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sin^2(a+b)-\sin^2(a-b)=\sin 2a\sin 2b$$; б) $$\cos^2(a-b)-\cos^2(a+b)=\sin 2a\sin 2b$$.

а) Преобразуем левую часть:

$$\sin^2(a+\beta)-\sin^2(a-\beta)=\bigl(\sin(a+\beta)-\sin(a-\beta)\bigr)\bigl(\sin(a+\beta)+\sin(a-\beta)\bigr)$$

$$=2\cos a\sin\beta \cdot 2\sin a\cos\beta =4\sin a\cos a\sin\beta\cos\beta =\sin 2a\cdot \sin 2\beta.$$

Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

$$\cos^2(a-\beta)-\cos^2(a+\beta)=\bigl(\cos(a-\beta)-\cos(a+\beta)\bigr)\bigl(\cos(a-\beta)+\cos(a+\beta)\bigr)$$

$$=2\sin a\sin\beta \cdot 2\cos a\cos\beta =4\sin a\cos a\sin\beta\cos\beta =\sin 2a\cdot \sin 2\beta.$$

Тождество доказано.