Упр.28.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Проверим тождество по формулам сложения и преобразования суммы в произведение.

а)

$$\sin x+\sin y+\sin(x-y)$$
$$=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}+2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$
$$=2\cos\frac{x-y}{2}\left(\sin\frac{x+y}{2}+\sin\frac{x-y}{2}\right)$$
$$=2\cos\frac{x-y}{2}\cdot 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}$$
$$=4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

Полученное выражение не совпадает с правой частью, значит данное равенство не является тождеством.

б)

$$\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$$
$$=\frac{(\sin x+\sin 3x)+\sin 2x}{(\cos x+\cos 3x)+\cos 2x}$$
$$=\frac{2\sin 2x\cos x+\sin 2x}{2\cos 2x\cos x+\cos 2x}$$
$$=\frac{\sin 2x(2\cos x+1)}{\cos 2x(2\cos x+1)}$$
$$=\frac{\sin 2x}{\cos 2x} =\tg 2x.$$

Тождество доказано.

Ответ

а) не является тождеством; б) тождество верно.