Упр.28.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}=\operatorname{tg}a$$;
б) $$\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{\sin(a+b)-\sin(a-b)}=\operatorname{tg}a$$.

Используем формулы суммы и разности тригонометрических функций:

$$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2},$$
$$\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2},$$
$$\cos x-\cos y=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2},$$
$$\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}.$$

а)

$$\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)} = \frac{2\sin a\cos b}{2\cos a\cos b} = \frac{\sin a}{\cos a} = \tg a.$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{\sin(a+b)-\sin(a-b)} = \frac{2\sin a\sin b}{2\cos a\sin b} = \frac{\sin a}{\cos a} = \tg a.$$

Тождество доказано.