Упр.28.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\frac{\sin 2a+\sin 6a}{\cos 2a+\cos 6a}=\tg 4a$$;
   б) $$\frac{\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a}=\tg 3a\ \tg a$$.

а) Преобразуем сумму в числителе и знаменателе по формулам:

$$\sin 2a+\sin 6a=2\sin \frac{2a+6a}{2}\cos \frac{2a-6a}{2}=2\sin 4a\cos 2a,$$

$$\cos 2a+\cos 6a=2\cos \frac{2a+6a}{2}\cos \frac{2a-6a}{2}=2\cos 4a\cos 2a.$$

Тогда

$$\frac{\sin 2a+\sin 6a}{\cos 2a+\cos 6a}=\frac{2\sin 4a\cos 2a}{2\cos 4a\cos 2a}=\frac{\sin 4a}{\cos 4a}=\tg 4a.$$

Тождество доказано.

б) Используем формулу разности косинусов:

$$\cos 2a-\cos 4a=-2\sin \frac{2a+4a}{2}\sin \frac{2a-4a}{2}=-2\sin 3a\sin(-a)=2\sin 3a\sin a,$$

$$\cos 2a+\cos 4a=2\cos \frac{2a+4a}{2}\cos \frac{2a-4a}{2}=2\cos 3a\cos a.$$

Следовательно,

$$\frac{\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a}=\frac{2\sin 3a\sin a}{2\cos 3a\cos a}=\frac{\sin 3a}{\cos 3a}\cdot \frac{\sin a}{\cos a}=\tg 3a\cdot \tg a.$$

Тождество доказано.