Упр.27.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите тождество:

а) $$(\sin t-\cos t)^2=1-\sin 2t$$;

б) $$\cos^4 t-\sin^4 t=\cos 2t$$;

в) $$(\sin t+\cos t)^2=1+\sin 2t$$;

г) $$\cos^4 t-\sin^4 t=1-\frac{1}{2}\sin^2 2t$$.

Докажем тождества, преобразуя левую часть.

1. $$\left(\sin t-\cos t\right)^2=\sin^2 t-2\sin t\cos t+\cos^2 t.$$

   Так как $$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$ а $$2\sin t\cos t=\sin 2t,$$ то

   $$\left(\sin t-\cos t\right)^2=1-\sin 2t.$$

2. $$\cos^4 t-\sin^4 t=\left(\cos^2 t-\sin^2 t\right)\left(\cos^2 t+\sin^2 t\right).$$

   С учётом $$\cos^2 t+\sin^2 t=1$$ и $$\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t$$ получаем

   $$\cos^4 t-\sin^4 t=\cos 2t.$$

3. $$\left(\sin t+\cos t\right)^2=\sin^2 t+2\sin t\cos t+\cos^2 t.$$

   Так как $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ и $$2\sin t\cos t=\sin 2t,$$ то

   $$\left(\sin t+\cos t\right)^2=1+\sin 2t.$$

4. $$\cos^4 t-\sin^4 t=\cos 2t.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$1-\frac12\sin^2 2t=1-\frac12\cdot\frac{1-\cos 4t}{2}=\frac34+\frac14\cos 4t.$$

   Это не равно тождественно $$\cos 2t,$$ значит данное равенство не является тождеством.

Ответ: а), б), в) — тождества; г) — не тождество.