Упр.27.71 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\begin{cases}2\sin x\cos x,&x\leq 0,\\2\sin^2 x,&x>0;\end{cases}$$

б) $$y=\begin{cases}(\sin x+\cos x)^2,&x\leq\frac{\pi}{4},\\2+\frac{\pi}{4}-x,&x>\frac{\pi}{4}.\end{cases}$$

а) $$y=\frac{\cos 2x}{\sin x-\cos x}+\sin x$$

Преобразуем числитель:

$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x).$$

Тогда

$$y=\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\sin x-\cos x}+\sin x =-\bigl(\cos x+\sin x\bigr)+\sin x=-\cos x.$$

Выражение имеет смысл при

$$\sin x-\cos x\ne 0,$$

то есть

$$\tg x\ne 1,\qquad x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

График функции совпадает с графиком $$y=-\cos x$$, но без точек при $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

б) $$y=\frac{\cos 2x}{\cos x+\sin x}-\cos x$$

Преобразуем:

$$y=\frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\cos x+\sin x}-\cos x =\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\cos x+\sin x}-\cos x =\cos x-\sin x-\cos x=-\sin x.$$

Область определения задаётся условием

$$\cos x+\sin x\ne 0,$$

то есть

$$\tg x\ne -1,\qquad x\ne -\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

График функции совпадает с графиком $$y=-\sin x$$, но без точек при $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Ответ

а) $$y=-\cos x,\quad x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$y=-\sin x,\quad x\ne -\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$