Упр.27.70 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$y=\frac{\cos 2x}{\sin x-\cos x}+\sin x$$; б) $$y=\frac{\cos 2x}{\sin x+\cos x}+\cos x$$; в) $$y=\frac{\cos 2x}{\sin x+\cos x}+\sin x$$; г) $$y=\frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}-\cos x$$.

а) $$y=\frac{\sin 2x}{\sin x}=\frac{2\sin x\cos x}{\sin x}=2\cos x.$$

Область определения: $$\sin x\ne 0,\quad x\ne \pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

График функции $$y=2\cos x$$ получается из графика $$y=\cos x$$ растяжением от оси $$Ox$$ в 2 раза.

б) $$y=\frac{\sin 2x}{\cos x}=\frac{2\sin x\cos x}{\cos x}=2\sin x.$$

Область определения: $$\cos x\ne 0,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

График функции $$y=2\sin x$$ получается из графика $$y=\sin x$$ растяжением от оси $$Ox$$ в 2 раза.

в) $$y=\frac{\cos 2x}{\sin x+\cos x}+\sin x.$$

Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x).$$ Тогда

$$y=\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\sin x+\cos x}+\sin x=\cos x-\sin x+\sin x=\cos x.$$

Область определения: $$\sin x+\cos x\ne 0,\quad x\ne -\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$y=\frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}-\cos x.$$

Так как $$\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x),$$ получаем

$$y=\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\cos x-\sin x}-\cos x=\cos x+\sin x-\cos x=\sin x.$$

Область определения: $$\cos x-\sin x\ne 0,\quad x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$y=2\cos x,$$ б) $$y=2\sin x,$$ в) $$y=\cos x,$$ г) $$y=\sin x.$$