Упр.27.68 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции: а) $$y=\frac{\sqrt{1+\cos x}}{1-\cos x}$$; б) $$y=-\frac{\sqrt{1-\cos 2x}}{1+\cos 2x}$$.

а) $$y=\frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{1-\cos x}}$$

Используем формулы половинного угла:

$$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}, \qquad 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$y=\frac{\sqrt{2\cos^2\frac{x}{2}}}{\sqrt{2\sin^2\frac{x}{2}}}=\frac{\left|\cos\frac{x}{2}\right|}{\left|\sin\frac{x}{2}\right|}.$$

На промежутках, где функция определена, получаем

$$y=\left|\ctg\frac{x}{2}\right|.$$

Значит, график строится как график функции $$y=\ctg\frac{x}{2}$$ с последующим взятием модуля по оси $$Ox$$: отрицательные части отражаются вверх. Область определения:

$$x\ne 2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) $$y=-\frac{\sqrt{1-\cos 2x}}{\sqrt{1+\cos 2x}}$$

Применим формулы:

$$1-\cos 2x=2\sin^2 x,\qquad 1+\cos 2x=2\cos^2 x.$$

Тогда

$$y=-\frac{\sqrt{2\sin^2 x}}{\sqrt{2\cos^2 x}}=-\frac{|\sin x|}{|\cos x|}=-|\tg x|.$$

Следовательно, график функции получается из графика $$y=\tg x$$ отражением относительно оси $$Ox$$ и взятием модуля. Область определения:

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$y=\left|\ctg\frac{x}{2}\right|,\quad x\ne 2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$y=-|\tg x|,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$