Упр.27.64 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
   а) $$y=2\cos 2x+\sin^2 x$$;
   б) $$y=2\sin^2 3x-\cos 6x$$.

а) $$y=2\cos 2x+\sin^2 x.$$

Используем формулу $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$$ Тогда

$$y=2\cos 2x+\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{3\cos 2x+1}{2}.$$

Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

$$\frac{3(-1)+1}{2}\le y\le \frac{3\cdot 1+1}{2},$$

то есть

$$-1\le y\le 2.$$

Наименьшее значение функции равно $$-1,$$ наибольшее — $$2.$$

б) $$y=2\sin^2 3x-\cos 6x.$$

Используем формулу $$\sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2}.$$ Тогда

$$y=2\cdot \frac{1-\cos 6x}{2}-\cos 6x=1-2\cos 6x.$$

Так как $$-1\le \cos 6x\le 1,$$ то

$$1-2\cdot 1\le y\le 1-2\cdot(-1),$$

следовательно,

$$-1\le y\le 3.$$

Наименьшее значение функции равно $$-1,$$ наибольшее — $$3.$$

Ответ: а) $$-1$$ и $$2$$; б) $$-1$$ и $$3$$.