Упр.27.62 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sin 2x\cos 2x<\frac{1}{4}$$

б) $$\cos^2\frac{x}{4}-\sin^2\frac{x}{4}>\frac{1}{2}$$

a) $$4\sin^2 3x<3$$

$$4\sin^2 3x-3<0$$

$$4\sin^2 3x-4\cdot \frac34<0$$

$$\left(2\sin 3x-\sqrt3\right)\left(2\sin 3x+\sqrt3\right)<0$$

Отсюда

$$-\frac{\sqrt3}{2}<\sin 3x<\frac{\sqrt3}{2}$$

Значит,

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<3x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<3x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Делим на $$3$$:

$$-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{4\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$4\cos^2 \frac{x}{4}>1$$

$$4\cos^2 \frac{x}{4}-1>0$$

$$4\cos^2 \frac{x}{4}-4\cdot \frac14>0$$

$$\left(2\cos \frac{x}{4}-1\right)\left(2\cos \frac{x}{4}+1\right)>0$$

Отсюда

$$\cos \frac{x}{4}>\frac12 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{4}<-\frac12$$

Но для неравенства $$4\cos^2 \frac{x}{4}>1$$ достаточно записать

$$\cos \frac{x}{4}>\frac12 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{4}<-\frac12$$

Решим через преобразование:

$$4\cos^2 \frac{x}{4}>1 \;\Longleftrightarrow\; 4\cdot \frac{1+\cos \frac{x}{2}}{2}>1$$

$$2+2\cos \frac{x}{2}>1$$

$$\cos \frac{x}{2}>-\frac12$$

Тогда

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<\frac{x}{2}<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Умножаем на $$2$$:

$$-\frac{4\pi}{3}+4\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}$$ или $$\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{4\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$-\frac{4\pi}{3}+4\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$