Упр.27.61 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$4\sin^2 3x<3$$;

б) $$4\cos^2\frac{x}{4}>1$$.

Используем формулу

$$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}.$$

а)

$$4\sin^2 3x<3$$

$$4\left(1-\cos^2 3x\right)<3$$

$$4-4\cos^2 3x<3$$

$$4\cos^2 3x>1$$

$$\cos^2 3x>\frac14.$$

Тогда

$$|\cos 3x|>\frac12.$$

Значит,

$$\cos 3x>\frac12 \quad \text{или} \quad \cos 3x<-\frac12.$$

Отсюда

$$3x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\;\frac{\pi}{3}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\;\frac{4\pi}{3}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Делим на $$3$$:

$$x\in\left(-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3},\;\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\right)\cup\left(\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3},\;\frac{4\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

б)

$$4\cos^2\frac{x}{4}>1$$

$$\cos^2\frac{x}{4}>\frac14.$$

Тогда

$$\left|\cos\frac{x}{4}\right|>\frac12.$$

Значит,

$$\cos\frac{x}{4}>\frac12 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{4}<-\frac12.$$

Отсюда

$$\frac{x}{4}\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\;\frac{\pi}{3}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\;\frac{4\pi}{3}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Умножаем на $$4$$:

$$x\in\left(-\frac{4\pi}{3}+8\pi k,\;\frac{4\pi}{3}+8\pi k\right)\cup\left(\frac{8\pi}{3}+8\pi k,\;\frac{16\pi}{3}+8\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3},\;\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\right)\cup\left(\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3},\;\frac{4\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\right),\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$x\in\left(-\frac{4\pi}{3}+8\pi k,\;\frac{4\pi}{3}+8\pi k\right)\cup\left(\frac{8\pi}{3}+8\pi k,\;\frac{16\pi}{3}+8\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$