Упр.27.60 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вычислите $$\operatorname{tg}\frac{x}{2}$$, если известно, что:
   а) $$\sin x+\cos x=1{,}4$$; $$0б) $$\sin x-\cos x=0{,}2$$; $$\pi

Пусть $$u=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда используем формулы

$$\sin x=\frac{2u}{1+u^2}, \qquad \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}.$$

а)

Из условия $$\sin x+7\cos x=5$$ получаем

$$\frac{2u}{1+u^2}+7\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}=5.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$2u+7(1-u^2)=5(1+u^2).$$

$$2u+7-7u^2=5+5u^2,$$

$$12u^2-2u-2=0,$$

$$6u^2-u-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+24=25,$$

$$u_{1,2}=\frac{1\pm 5}{12}.$$

Отсюда

$$u_1=-\frac13,\qquad u_2=\frac12.$$

Так как $$u=\tg \frac{x}{2},$$ то

$$\tg \frac{x}{2}=-\frac13 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=-\arctg \frac13+\pi n,$$

$$x=-2\arctg \frac13+2\pi n,$$

и

$$\tg \frac{x}{2}=\frac12 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=\arctg \frac12+\pi n,$$

$$x=2\arctg \frac12+2\pi n.$$

б)

Из условия $$5\sin x+10\cos x+2=0$$ получаем

$$5\cdot \frac{2u}{1+u^2}+10\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}+2=0.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$10u+10(1-u^2)+2(1+u^2)=0,$$

$$10u+10-10u^2+2+2u^2=0,$$

$$8u^2-10u-12=0,$$

$$4u^2-5u-6=0.$$

Находим корни:

$$D=25+96=121,$$

$$u_{1,2}=\frac{5\pm 11}{8}.$$

Следовательно,

$$u_1=-\frac34,\qquad u_2=2.$$

Тогда

$$\tg \frac{x}{2}=-\frac34 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=-\arctg \frac34+\pi n,$$

$$x=-2\arctg \frac34+2\pi n,$$

и

$$\tg \frac{x}{2}=2 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=\arctg 2+\pi n,$$

$$x=2\arctg 2+2\pi n.$$

Ответ: а) $$x=-2\arctg \frac13+2\pi n,\; x=2\arctg \frac12+2\pi n.$$ б) $$x=-2\arctg \frac34+2\pi n,\; x=2\arctg 2+2\pi n.$$