Упр.27.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- 27.59. Используя замену $$u=\operatorname{tg}\frac{x}{2}$$ и тождества из упражнения 27.58, решите уравнение:
а) $$\sin x+7\cos x=5$$;
б) $$5\sin x+10\cos x+2=0$$.
Пусть $$u=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда по формулам
$$\sin x=\frac{2u}{1+u^2}, \qquad \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}$$
получаем рациональные уравнения.
а)
$$\sin x+7\cos x=5$$
Подставим выражения через $$u$$:
$$\frac{2u}{1+u^2}+7\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}=5.$$
Умножим на $$1+u^2$$:
$$2u+7-7u^2=5+5u^2.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$12u^2-2u-2=0,$$
$$6u^2-u-1=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=1+24=25,$$
$$u_{1,2}=\frac{1\pm 5}{12}.$$
Отсюда
$$u_1=\frac12,\qquad u_2=-\frac13.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\tg \frac{x}{2}=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=2\arctan \frac12+2\pi k,$$
$$\tg \frac{x}{2}=-\frac13 \quad \Rightarrow \quad x=-2\arctan \frac13+2\pi k,\qquad k\in \mathbb Z.$$
б)
$$5\sin x+10\cos x+2=0$$
Подставим формулы через $$u$$:
$$5\cdot \frac{2u}{1+u^2}+10\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}+2=0.$$
Умножим на $$1+u^2$$:
$$10u+10-10u^2+2+2u^2=0.$$
Получаем:
$$-8u^2+10u+12=0,$$
$$4u^2-5u-6=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=25+96=121,$$
$$u_{1,2}=\frac{5\pm 11}{8}.$$
Тогда
$$u_1=2,\qquad u_2=-\frac34.$$
Следовательно,
$$\tg \frac{x}{2}=2 \quad \Rightarrow \quad x=2\arctan 2+2\pi k,$$
$$\tg \frac{x}{2}=-\frac34 \quad \Rightarrow \quad x=-2\arctan \frac34+2\pi k,\qquad k\in \mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=2\arctan \frac12+2\pi k$$ или $$x=-2\arctan \frac13+2\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$
б) $$x=2\arctan 2+2\pi k$$ или $$x=-2\arctan \frac34+2\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$
