Упр.27.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 27.59. Используя замену $$u=\operatorname{tg}\frac{x}{2}$$ и тождества из упражнения 27.58, решите уравнение:
   а) $$\sin x+7\cos x=5$$;
   б) $$5\sin x+10\cos x+2=0$$.

Пусть $$u=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда по формулам

$$\sin x=\frac{2u}{1+u^2}, \qquad \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}$$

получаем рациональные уравнения.

а)

$$\sin x+7\cos x=5$$

Подставим выражения через $$u$$:

$$\frac{2u}{1+u^2}+7\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}=5.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$2u+7-7u^2=5+5u^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$12u^2-2u-2=0,$$

$$6u^2-u-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+24=25,$$

$$u_{1,2}=\frac{1\pm 5}{12}.$$

Отсюда

$$u_1=\frac12,\qquad u_2=-\frac13.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\tg \frac{x}{2}=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=2\arctan \frac12+2\pi k,$$

$$\tg \frac{x}{2}=-\frac13 \quad \Rightarrow \quad x=-2\arctan \frac13+2\pi k,\qquad k\in \mathbb Z.$$

б)

$$5\sin x+10\cos x+2=0$$

Подставим формулы через $$u$$:

$$5\cdot \frac{2u}{1+u^2}+10\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}+2=0.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$10u+10-10u^2+2+2u^2=0.$$

Получаем:

$$-8u^2+10u+12=0,$$

$$4u^2-5u-6=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=25+96=121,$$

$$u_{1,2}=\frac{5\pm 11}{8}.$$

Тогда

$$u_1=2,\qquad u_2=-\frac34.$$

Следовательно,

$$\tg \frac{x}{2}=2 \quad \Rightarrow \quad x=2\arctan 2+2\pi k,$$

$$\tg \frac{x}{2}=-\frac34 \quad \Rightarrow \quad x=-2\arctan \frac34+2\pi k,\qquad k\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=2\arctan \frac12+2\pi k$$ или $$x=-2\arctan \frac13+2\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$

б) $$x=2\arctan 2+2\pi k$$ или $$x=-2\arctan \frac34+2\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$